面臨不確定因素時,人們做決策的行為模式,一直是許多領域的重要研究課題。其中探索的焦點之一,是設法找出並且解釋人們在受到不確定性的影響之下,所表現在認知上的偏誤。

有別於一般利用特定的實驗、或問卷方式,本文藉由分析一組樂透彩券投注者的選號資料,了解在現實生活有大量參與者的遊戲裡,人們詮釋由於機率所導致的不確定性,而產生的偏誤,並更進一步建構其行為的動態模式。

藉著一個低成本的機會,實現迅速成為千萬甚至億萬富翁的願望,樂透遊戲能得到大眾的接受與喜好,自是上不難理解。文獻中以經濟理論或定性方式,解釋為什麼規避風險的理性消費者,願意參與不公平的遊戲,已有廣泛的探討,對投注市場的定量分析,以及相應的模型建構的研究,卻顯得不足。

我國公益彩券依據1995年7月公布施行的《公益彩券發行條例》,自1999年12月1日開始發行。第一代可以自行選號的樂透彩券,首先由台北富邦銀行於2002年取得授權營運。投注方式為50元一注,從1到42選6個號碼,自行選號與電腦選號並行,每週搖號開獎兩次。我們分析的資料,是2002與2003兩年,連續共203期樂透彩劵,自選號碼組合的全部紀錄(期間自選號碼彩票售出1,679,676,226張,佔總銷售的61%)。

一、三個因素

資料分析的結果,顯示樂透投注者選取號碼,受到三個因素影響:上一期開獎的中獎號碼,號碼過去的中獎頻率,以及上一期樂透投注者選擇的號碼[1]。 以下分別簡述,這三個因素如何影響投注者的選號行為。

(一)賭徒的謬誤 (the gambler’s fallacy)

在純粹是由機率決定輸贏的賭博遊戲裡,經常可以看到,參與的賭徒有種傾向,相信當期的結 果,不會在下一期重複出現。類似的錯誤詮釋機率法則的現象,文獻中稱之為賭徒的謬誤。 Tversky 與 Kahneman (2002年諾貝爾經濟學獎得主)將其擴充,提出「小數法則」(the law of small numbers)現象[2],並進一步,將此現象歸因於代表性簡捷推論法 (representativeness heuristic)所造成的認知偏誤[3]。

以我們分析的樂透資料為例,圖一(A)的藍色折線,每個水平座標為 x 的實心三角形,其垂直座標表示第 t 次遊戲的6 個中獎號碼,在第 t+x 次遊戲,被選取的平均頻率(對 6 個中獎號碼,以及資料範圍內的各個 t 次遊戲做平均)。 同樣在紅色點線上,每個水平座標為 x 的正方形,其垂直座標表示,第 t 次遊戲的36個非中獎號碼,在第 t+x 次遊戲,被選取的平均頻率 (對 36 個非中獎號碼以及資料範圍內各個 t 次遊戲做平均)。 投注者若是隨機選號,每個號碼被選中的頻率,應該近似1/42=0.0238。 圖一(A)顯示,中獎號碼在下一期被選取的頻率,明顯的從接近0.0238下降到0.019 ,減少 0.0046 (p<0.001),非中獎號碼的平均被選取頻率,維持在0.0238附近,只有微幅波動,兩相對照,清楚表示賭徒謬誤現象的存在。

(二)機器有問題

受到賭徒謬誤的影響的同時,樂透參與者也展現一個對立的行為模式,特別青睞於過去中獎頻率較高的號碼。他們認為這些號碼中獎率高,並非偶然,很可能是開獎機器的本身問題所造成。圖一(B)即描述此一有趣的現象。首先,我們將當期中獎號碼分成兩類,在過去99期(包含當期)不少於7次中獎次數,列為熱門中獎號組,其餘則歸為冷門中獎號組。然後計算這兩組號碼,在當期前後數期,被投注者選中的平均頻率。圖中的橫軸座標與縱座標,和圖一(A ) 相同,亦即每個水平座標為 x 的正方形或實心三角形,其垂直座標值表示,第 t 次遊戲的熱門中獎號組或冷門中獎號組,在第 t+x 次遊戲,被選取的平均頻率(分別對熱門與冷門中獎號碼組,以及資料範圍內各個 t 次遊戲做平均)。

圖一(B)顯示兩個特性,第一,熱門中獎號組與冷門中獎號組,都受到賭徒謬誤的制約,被投注者選中的平均頻率,在中獎號碼公佈的次一期,都顯著下降。前者(紅色正方形點線)從0.0268降至0.0221,下跌17.54%(p < 0.0001),後者(實心三角形藍色折線)從0.0226降至0.0011,下降19.91%(p < 0.0001)。第二個特性,熱門中獎號組的平均被選中頻率,在不同的前後期,一致性的顯著高於冷門中獎號組的平均被選中頻率,而後者的頻率變化趨勢,與隨機選號頻率的走勢(圖一(A)的藍色折線),幾無二致。投注者偏好熱門中獎號碼的行為,表露無遺。

 

(三)選號如同覓食

圖一(A)與(B) 均顯示,中獎號碼的平均選中頻率,雖然受到賭徒謬誤的影響而下跌,但之後,逐漸爬升,恢復至隨機選取頻率的平均水準。我們觀察到,中獎號碼的平均選中頻率,即使沒有賭徒的謬誤,亦呈現出另一方向回歸平均,由上向下的現象。在圖二(A) 中,紅色正方形的時間數列,代表當期非熱門中獎號碼組中(如圖一(B)所定義),前三個選取頻率最高,但卻未中獎的的號碼的平均選取頻率,藍色實心圓的數列,則代表同樣三個號碼,在下一期被選取的頻率,資料有203期,所以序列總共有104個時間點,與圖二(A)反面對稱,圖二(B)中的藍色實心圓的時間數列,代表當期冷門中獎號碼組中(如圖一(B)所定義),三個選取頻率最低,而且沒有中獎的號碼的平均選取頻率,而紅色正方形的數列,則代表同樣三個號碼,在下一期被選取的頻率資料。

圖二(A)及(B)的藍色實心圓與紅色正方形的兩組數列,平均值明顯有高低之分,對其分別進行配對 t 檢驗,兩組數列平均值差距,分別為 -0.0019 (= 0.0292 – 0.0311 ) 和 0.0025 (= 0.0183 – 0.0158)。均有顯著差異(p < 0.001))。圖二(A)與(B)顯示,投注者選號的行為類似覓食,會去曾經發現有食物的地方試試,一旦希望落空,則易地他求(如圖二(A)),目標則是曾經發現有食物,且之前較少去的地方(如圖二(B))。

 

二、延伸與結語

利用前述三項因素:賭徒的謬誤,熱門中獎號碼的偏好,以及選取號碼回歸平均,我們引進下面時間序列模型:

Q(i,t) = α + β_1Q(i,t-1) + β_2HIT(i,t-1) + β_3HOT(i,t-1) + ε(t),(1)

以闡述投注者選號行為的動態結構。 模型(1)中,變數Q(i,t) 是樂透玩家在第 t 期時選取號碼 i 的平均頻率;如果號碼 i 在第 t-1期為中獎號碼,HIT(i,t-1) 的值為 -1,否則為 0;如果號碼 i 在第 t-1 期,為之前圖一(B)所定義的熱門中獎號,HOT(i,t-1) 的值 為 +1, 否則為 0 。 統計分析的結果 β_1, β_2與 β_3,均顯著為正 (p < 0.001) ,解釋力達到 0.6670。變數值為正的β_1,反應第三項因素所描繪,投注者選號行為有回歸平均值的現象 , β_2與 β_3顯著為正,則分別證實,投注者受到第一與第二項因素影響,而產生的認知偏誤。

結合傳統的看法與新的觀點,我們介紹了一個隨機模型,就一個真實機率遊戲,刻劃其大量參與者的選擇行為,不僅更深入的了解,人們因不確定性而造成的行為偏誤,類似的時間序列模型方法,相信也可以作為分析其他機會遊戲資料的借鏡。

參考文獻

[1] Ho, H.-C, Lee, S.C., and Lin, H.W. (2019). Modeling of how lotto players select their number combinations dynamically. International Gambling Studies,19, 200-219.
[2] Tversky, A., & Kahneman, D. (1971). Belief in the law of small numbers. Psychological Bulletins,
76, 105-110.
[3] Tversky, A., & Kahneman, D. (1974). Judgment under uncertainty: heuristics and biases.
Science,185, 1124-1131.